Отчим, тридцать лет проработавший механиком в автоколонне, заглянул в задачник одиннадцатиклассника и сказал: «Убери трение, будет тебе сто процентов». Так думает большинство взрослых, и в школе эту мысль никто специально не опровергает. Физика с ней не согласна уже двести лет. Даже машина без трения, без утечек и без нагрева деталей обязана отдавать часть теплоты холодному телу, и потолок ее КПД задают две температуры, а не качество сборки. На ЕГЭ по физике 2027 года эта разница стоит баллов в задании 8 первой части и в расчетной задаче 23 второй, а догадаться о ней по бытовому опыту трудно, потому что быт подсказывает как раз про трение.
Понятнее всего она становится, если пройти за самим числом КПД от первой паровой машины до газовой турбины 2018 года.
Машина у замка Дадли, которая грела холодную воду
Шахту у замка Дадли в 1712 году осушала машина Томаса Ньюкомена, человека, который до того торговал гвоздями и скобами. Работала она так: цилиндр наполняли паром, внутрь впрыскивали струю холодной воды, пар оседал каплями, под поршнем становилось почти пусто, и воздух снаружи давил на поршень сверху. На каждом ходе цилиндр остывал и на следующем ходе его снова грели паром. Большая часть угля уходила на то, чтобы раз за разом нагревать железо, которое тут же охлаждали.
Джеймс Уотт вынес конденсацию в отдельный сосуд, и цилиндр перестал остывать. Патент он получил в 1769 году, а в полном масштабе машина с отдельным конденсатором заработала к 1776-му. Доведенная машина Болтона и Уотта, по подсчетам историков техники, расходовала примерно на 75 процентов меньше топлива, чем сопоставимая машина Ньюкомена.
В школьной формуле КПД равен отношению полезной работы за цикл к количеству теплоты, полученному от нагревателя. Если работа та же, а угля сжигают вчетверо меньше, КПД вырастает вчетверо. Вторая запись той же величины связывает три числа: работа равна теплоте от нагревателя минус теплота, отданная холодильнику. Задачи первой части часто дают две теплоты и просят найти КПД или дают КПД с одной теплотой и просят вторую. Если машина получила за цикл 400 джоулей и отдала холодильнику 300, работа равна 100 джоулям, а КПД 25 процентам.
Шестьсот экземпляров за свой счет
Книжку под названием «Размышления о движущей силе огня» парижский издатель Башелье выпустил в июне 1824 года, а платил за все 600 экземпляров сам автор. Сади Карно было тогда двадцать восемь, служил он военным инженером, и покупали его труд так вяло, что Уильям Томсон в 1845 году не смог раздобыть экземпляр даже в Париже. Сам Карно до этого не дожил. В августе 1832 года, тридцати шести лет, он умер от холеры, и почти все, что после него осталось, сожгли как вещи заразного больного. Уцелевшие заметки увидели свет лишь в 1878 году, когда их выпустил брат Ипполит.
Мысль, ради которой книжку теперь помнят, состоит вот в чем. Карно представил идеальную машину без трения и без бесполезных потерь теплоты и спросил, сколько работы она может дать. Ответ зависел только от температур нагревателя и холодильника и не зависел ни от пара, ни от конструкции. В нынешней форме максимальный КПД равен разности температур нагревателя и холодильника, деленной на температуру нагревателя, причем обе температуры берут по шкале Кельвина.
Рассуждал при этом Карно, опираясь на теорию теплорода, где теплота считалась невесомой жидкостью, и теория эта была неверной. Верный предел вышел из неверной картины, и на вопрос, почему так получилось, учебники обычно не отвечают вовсе. Для экзамена хватает того, что вывод потом пересобрали на новых основаниях и он устоял.
Пример с числами показывает, сколько это. При нагревателе 527 градусов Цельсия, то есть 800 кельвинов, и холодильнике 27 градусов, 300 кельвинов, предел равен пятистам, деленным на восемьсот, или 62,5 процента. Никакая машина между этими температурами больше не выдаст, даже если смазать в ней все до последнего подшипника.
Клапейрон рисует цикл
Через десять лет после выхода книжки, в 1834 году, на нее обратил внимание инженер Эмиль Клапейрон. Он изложил рассуждение Карно на языке графика давления от объема, и именно в таком виде цикл попал в учебники, а оттуда в задания ЕГЭ.
На графике давление по вертикали, объем по горизонтали, а замкнутая петля цикла ограничивает площадь, численно равную работе газа за цикл. Если петля обходится по часовой стрелке, газ совершает положительную работу и перед нами тепловой двигатель. По этой площади в задачах второй части находят работу, а потом КПД.
Возьмем прямоугольную петлю для одного моля одноатомного газа: давление меняется от 100 до 200 килопаскалей, объем от 1 до 2 литров. Работа за цикл равна площади прямоугольника, 100 килопаскалям на 1 литр, то есть 100 джоулям. Теплоту газ получает на двух сторонах. Первая сторона левая, объем стоит на 1 литре, а давление поднимается на 100 килопаскалей, и газу достается 150 джоулей, потому что для одноатомного газа здесь нужно взять полтора таких произведения. Вторая сторона верхняя, газ при 200 килопаскалях раздвигает поршень еще на литр, и получает газ уже 500 джоулей, два с половиной произведения давления на прирост объема, ведь часть теплоты тратится на работу. В знаменатель идут 650 джоулей, и КПД выходит около 15,4 процента.
Ошибка, на которой здесь теряют больше всего, касается того же знаменателя. В знаменатель складывают только те количества теплоты, которые на участках цикла получились положительными, а знак на каждом участке определяют по первому началу термодинамики: теплота равна изменению внутренней энергии плюс работа газа. Рост температуры сам по себе ничего не доказывает, при адиабатном сжатии газ нагревается, не получая теплоты вовсе. Выпускник, который просуммировал по модулю теплоту всех четырех участков, получает КПД вдвое или втрое меньше верного и не видит ошибки, потому что число выглядит правдоподобно.
Томсон и шкала, где нет минуса
Тот самый Томсон, будущий лорд Кельвин, через три года после неудачных поисков книги, в 1848-м, построил на рассуждении Карно абсолютную температурную шкалу. Отсчет в ней начинается с минус 273 градусов по Цельсию, ниже опуститься нельзя, и формула предельного КПД работает только с такими температурами.
Если подставить в ту же формулу температуры по Цельсию, 527 и 27, выйдет почти 95 процентов вместо 62,5. Ответ получается правдоподобным, им даже хочется гордиться, и в бланке он стоит рядом с верным на соседней строке. По опыту преподавателей, на этой подстановке в теме ошибаются чаще всего, а рядом с ней стоит путаница, какую из двух температур ставить в знаменатель.
Аугсбург, 1897 год
Рудольф Дизель задумал двигатель, который подошел бы к пределу Карно ближе паровой машины, и описал его в книге 1893 года. Семнадцатого февраля 1897 года на заводе в Аугсбурге его третий опытный двигатель мощностью около 20 лошадиных сил показал под нагрузкой КПД 26,2 процента. Паровые машины того времени давали около десяти.
Двадцать шесть процентов означают, что из каждых ста джоулей теплоты сгорающего топлива в работу переходят двадцать шесть, а семьдесят четыре уходят с выхлопом, в систему охлаждения и в нагрев деталей. Ту же раскладку экзамен проверяет в обратную сторону, когда дает КПД и мощность двигателя и спрашивает, сколько теплоты он отдает за минуту холодильнику.
Нагоя, 2018 год
В марте 2018 года Книга рекордов Гиннесса признала рекордной электростанцию Ниси-Нагоя японской компании «Тюбу Электрик». Первый ее блок, парогазовый, с тремя газовыми турбинами, показал КПД брутто 63,08 процента. Предыдущий рекорд, 62,22 процента, держала с 2016 года французская станция Бушен, но там считали КПД нетто, и сравнивать эти два числа напрямую не совсем честно.
Парогазовая установка устроена как две машины подряд. Горячие газы после турбины не выбрасывают, а пускают на котел паровой турбины, и холодильник первой машины становится нагревателем для второй. Даже так до ста процентов далеко, потому что в конце цепочки все равно стоит холодильник, река или градирня, и температура у него не ноль кельвинов. Механик из автоколонны был прав наполовину: трение отнимает свое, но и без него предел остался бы.
Формулы тепловых машин
| Что ищем | Формула | Когда применять | На чем теряют балл |
|---|---|---|---|
| КПД через работу | η = A / Qн | Даны работа за цикл и теплота от нагревателя | В знаменатель ставят всю теплоту цикла, а не только полученную |
| КПД через две теплоты | η = 1 − |Qх| / Qн | Даны теплота от нагревателя и теплота, отданная холодильнику | Путают, какая из теплот стоит в знаменателе |
| Работа за цикл | A = Qн − |Qх| | Нужна работа или теплота холодильника | Забывают модуль у отданной теплоты |
| Работа по графику | A = площадь петли на p–V | Цикл нарисован в координатах давления и объема | Считают площадь под одной линией, а не внутри петли |
| Предел Карно | ηmax = 1 − Tх / Tн | Даны температуры нагревателя и холодильника | Подставляют градусы Цельсия вместо кельвинов |
| Перевод температуры | T = t + 273 | Любая задача с пределом Карно | Переводят только одну из двух температур |
| КПД двигателя на топливе | η = N·τ / (q·m) | Даны мощность, время работы и масса сгоревшего топлива | Берут время в минутах или часах, а мощность в киловаттах |
| Теплота на изохоре, одноатомный газ | Q = 3/2 · V·Δp | Участок цикла с постоянным объемом | Берут 5/2 вместо 3/2 |
| Теплота на изобаре, одноатомный газ | Q = 5/2 · p·ΔV | Участок цикла с постоянным давлением | Забывают, что часть теплоты идет на работу |
| Изотерма и адиабата | Q = A и Q = 0 | Участки цикла Карно и задачи с теплоизоляцией | При адиабатном сжатии считают, что газ получил теплоту, раз нагрелся |
Обозначения: Qн означает теплоту, полученную от нагревателя за цикл, Qх теплоту, отданную холодильнику, q удельную теплоту сгорания топлива, τ время работы. Формулы КПД теплового двигателя и идеальной машины по циклу Карно навигатор ФИПИ относит к заданию 8.
Что спрашивают на ЕГЭ
ЕГЭ по физике 2027 года по проекту ФИПИ состоит из 26 заданий, на работу дается 235 минут, максимальный первичный балл 45, из них 28 за первую часть и 17 за вторую. Структура по сравнению с 2026 годом не изменилась, уточнена тематика двух заданий второй части: задание 21 по проекту проверяет электродинамику, а расчетное задание 23 повышенного уровня отнесено к молекулярной физике и термодинамике и стоит до 2 баллов.
В первой части КПД живет в задании 8 базового уровня за 1 балл. В навигаторе самостоятельной подготовки ФИПИ к нему прямо приписаны формулы КПД теплового двигателя и КПД идеальной машины, работающей по циклу Карно. Задание 10, анализ тепловых процессов по графикам и описанию, тоже нередко строится на цикле. В навигаторе 2026 года к термодинамике относилось и задание 24, расчетная задача высокого уровня за 3 балла, и в вариантах 2027 года такой цикл вполне может вернуться туда же.
Минимальный порог по физике составляет 36 тестовых баллов, а вузы на технические направления обычно ставят собственный, выше. Заявление с перечнем экзаменов выпускник подает до 1 февраля включительно.
Шаги решения по типам задач
Четыре типа задач на КПД, которые встречаются в первой и второй частях ЕГЭ, и проверка, которую стоит сделать до записи ответа.
Две теплоты
Задание 8
- Выписать теплоту от нагревателя и теплоту, отданную холодильнику.
- Найти работу как их разность.
- Разделить работу на теплоту от нагревателя.
- Перевести в проценты, если в бланке после поля стоит знак процента.
Проверка: КПД меньше 100 процентов и работа меньше теплоты нагревателя.
Предел Карно
Задание 8
- Перевести обе температуры в кельвины, прибавив 273.
- Разделить температуру холодильника на температуру нагревателя.
- Вычесть результат из единицы.
Проверка: если условие называет КПД реальной машины выше этого предела, такая машина невозможна.
Цикл по графику
Задания 10, 23, 24
- Найти работу как площадь внутри петли.
- Для каждого участка определить знак теплоты по первому началу термодинамики.
- Сложить только положительные теплоты, это знаменатель.
- Разделить работу на знаменатель.
Проверка: сумма модулей всех теплот в знаменатель не идет.
Двигатель на топливе
Вторая часть
- Перевести мощность в ватты, время в секунды.
- Найти полезную работу как мощность, умноженную на время.
- Найти теплоту сгорания как удельную теплоту, умноженную на массу топлива.
- Разделить работу на теплоту.
Проверка: у бензинового двигателя КПД в задаче обычно выходит от 20 до 40 процентов.
План на месяц
Если в задании 8 ответы пока плавают, начинать стоит с двух формул и одной проверки. Неделю решать только задачи первой части из открытого банка ФИПИ, десять штук за вечер, и в каждой сначала переводить температуры в кельвины, потом проверять, не вышел ли КПД выше предела Карно. Вторую неделю отдать графикам: находить работу по площади петли и отмечать участки, где газ получает теплоту. После этого браться за задачи второй части, по одной в день, с полной записью решения.
Тем, у кого первая часть уже решается без ошибок, полезнее сразу идти к циклам с одноатомным газом, где теплоту на каждом участке приходится считать через первое начало термодинамики. Младшим, кто только в десятом классе, хватит на эту тему одного правила на полях учебника: КПД ограничен температурами, а трение только отнимает от этого потолка еще немного.
Для родительского чата годится одна фраза. Даже идеальная тепловая машина без трения не дает ста процентов, предел задают температуры нагревателя и холодильника, и на ЕГЭ эту формулу проверяют в задании 8.
Тренажер задач второй части
Четыре задачи на КПД с полным решением. Введите ответ и сверьте, решение откроется по кнопке.
Один моль одноатомного идеального газа совершает цикл, который на p–V диаграмме выглядит прямоугольником: давление меняется от 100 до 300 кПа, объем от 2 до 4 л. Найдите КПД цикла в процентах, округлив до целых.
Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно с нагревателем при 600 К и имеет КПД 40 %. Найдите температуру холодильника в градусах Цельсия.
Двигатель автомобиля развивает мощность 46 кВт, его КПД 25 %. Сколько килограммов бензина он расходует за 1 час? Удельная теплота сгорания бензина 4,6·10⁷ Дж/кг.
Изобретатель заявляет, что его машина за цикл получает от нагревателя при 400 К 1000 Дж теплоты, отдает холодильнику при 300 К остальное и совершает работу 300 Дж. Возможна ли такая машина? Ответьте «да» или «нет».
Разобраться, какие задачи по термодинамике у вашего выпускника решаются уверенно, а какие еще нет, можно на бесплатной консультации с методистом на classicum.ru. Курс по физике идет онлайн в малых группах.
Куда двигаться дальше
Сначала стоит закрепить сам закон, на котором держится знаменатель КПД: первое начало термодинамики на ЕГЭ по физике. Работа газа по графику и внутренняя энергия разобраны в статье о внутренней энергии и теплоте.
КПД рычага, наклонной плоскости и подъемника считают через полезную и затраченную работу, этому посвящена статья о работе, мощности и энергии на ЕГЭ по физике.
Где выпускники теряют баллы в остальных разделах, рассказано в обзоре что вас ждет на ЕГЭ по физике. Если удобнее готовиться по плану и с преподавателем, на classicum.ru можно записаться на курс по физике.
Частые вопросы про КПД тепловых машин на ЕГЭ
В каком виде записывать КПД в ответе, в процентах или в долях?
Так, как просит условие. В заданиях первой части единица обычно уже напечатана после поля ответа, и если там стоит знак процента, вписывается число процентов без знака.
Можно ли пользоваться справочными данными на экзамене?
В начале варианта ЕГЭ по физике печатаются справочные данные, в том числе связь шкал Цельсия и Кельвина и значения констант. Формулы КПД в этот список не входят, их нужно помнить.
Чем холодильник тепловой машины отличается от кухонного холодильника?
В физике холодильником называют любое тело, которому машина отдает часть теплоты: атмосферу, реку, воду в радиаторе. Кухонный холодильник устроен как тепловая машина, запущенная в обратную сторону, он затрачивает работу и переносит теплоту от холодного тела к теплому.
