За задачу с параметром дают 4 балла, ровно столько же, сколько за четыре любых задания первой части вместе взятых. Отсюда и соблазн бросить ее сразу: четыре простых номера кажутся надежнее одного тяжелого. Расчет ломается на второй половине шкалы, где простые задания давно решены и добирать баллы больше неоткуда, а вся арифметика упирается в номера 18 и 19.
Решение, в котором сошелся ответ и потерялся случай
Типичная картина на проверке выглядит так. Работа расписана на полторы страницы, выкладки верные, ответ совпадает с ключом наполовину. В нем стоят два промежутка из трех: третий случай выпускник вообще не рассмотрел, зато к остальным вернулся ради проверки арифметики.
Полного балла такое решение не получает. И это не придирка эксперта: задача с параметром спрашивает про все значения, при которых выполняется условие, до единого. Пропущенный случай означает, что часть ответа отсутствует, сколько бы страниц ни было исписано.
Отсюда следует главное про подготовку, и оно неочевидно. Тренировать тут надо привычку спрашивать себя, все ли случаи рассмотрены, причем спрашивать до начала вычислений. Скорость выкладок в этой задаче второстепенна, ее хватает почти у всех, кто дошел до второй части.
Что вообще значит «при каких значениях параметра»
Параметр ведет себя в уравнении как число, значение которого заранее неизвестно. Стоит он наравне с обычными числами, но ответ теперь зависит от него.
Разница с обычным уравнением понятнее всего на счете. В обычном уравнении вы ищете переменную и получаете набор чисел. В задаче с параметром вы получаете описание: при таких значениях параметра корней нет, при таких один, при таких два. То есть решается сразу целое семейство уравнений, и ответом служит перечень условий. Столбика корней в конце не будет.
Именно поэтому задача выглядит непривычно и пугает сильнее, чем стереометрия. Техника там школьная, ничего сверх программы, а способ думать другой.
Постановки в работе повторяются из года в год. Просят найти значения, при которых уравнение имеет ровно столько-то корней. В другой постановке корни должны лежать на заданном отрезке, в третьей система обязана иметь единственное решение. Формулировки разные, вопрос по сути один: как меняется картина решений, когда буква пробегает всю числовую прямую.
| Как звучит условие | О чем вопрос на самом деле | Что проверять в первую очередь |
|---|---|---|
| Ровно столько-то корней | Сколько раз горизонтальная прямая пересекает график при разных значениях параметра | Границы промежутков и совпадение корней |
| Корни на заданном отрезке | Как расположены точки пересечения относительно концов отрезка | Включены концы отрезка в ответ или нет |
| Единственное решение | Есть ли у выражения симметрия или монотонность, задающая одну точку | Проверка каждого найденного значения подстановкой |
| Система имеет решения | Пересекаются ли множества решений при данном значении параметра | Область определения каждого уравнения системы |
| Хотя бы одно решение на промежутке | Где график пересекает полосу, заданную промежутком | Строгость неравенств на краях полосы |
Формулировки в вариантах повторяются, различается техника внутри. Узнавание постановки с первого взгляда экономит на экзамене больше времени, чем скорость вычислений.
Картинка, на которой параметр перестает быть буквой
Графический ход дает больше всего решенных задач среди тех, кто берется за задание 18 впервые.
Работает он так. Уравнение переписывается в виде равенства двух выражений, левая часть зависит только от переменной, правая только от параметра. Дальше строится график левой части, а правая превращается в горизонтальную прямую, которая двигается вверх и вниз в зависимости от значения параметра. Число корней равно числу точек пересечения, и вопрос про количество корней превращается в другой: сколько раз прямая пересекает график на каждой высоте.
Возьмем ходовую постановку: модуль квадратного трехчлена приравнен к параметру. Пусть у трехчлена два различных корня, случай для разбора самый показательный. График рисуется обычной параболой, затем ее часть, ушедшая под ось, отражается вверх, и получается кривая с двумя изломами и локальным горбом между ними. Когда корень один или корней нет вовсе, картина другая, и разбирать ее нужно отдельно. Дальше остается провести прямую на разных высотах и посмотреть, сколько раз она пересекает кривую.
Ниже нуля пересечений нет. На нуле прямая проходит через две точки излома. Между нулем и высотой горба пересечений оказывается четыре. Ровно на высоте горба их три. Выше горба снова два. Все, задача решена, остается записать ответ через числа, найденные из графика.
Что на графике. Корни трехчлена 1 и 4, вершина параболы в точке x = 2,5, значение в вершине −2,25. После отражения нижней части вверх получается кривая с изломами в точках 1 и 4 и горбом высотой 2,25.
| Значение параметра | Число пересечений | Почему так |
|---|---|---|
| a < 0 | 0 | Модуль отрицательным не бывает, прямая идет ниже кривой |
| a = 0 | 2 | Прямая проходит через две точки излома |
| 0 < a < 2,25 | 4 | Прямая режет обе ветви и обе стороны горба |
| a = 2,25 | 3 | Прямая проходит через вершину горба, два боковых пересечения плюс одно в вершине |
| a > 2,25 | 2 | Горб остался ниже прямой, работают только внешние ветви |
Ответ, a = 2,25. В чистовике каждая строка разбора проговаривается словами: откуда взялась высота горба, почему на этой высоте пересечений ровно три. Числа, снятые с рисунка без вычисления, полного балла не дают.
Ошибка на этом ходу одна и повторяется у всех: рисунок делается небрежно, изломы и горб не подписываются, и высота горба берется на глаз. Эксперт видит красивую картинку без чисел и обоснования, и полного балла за нее не дает.
Разбор случаев, когда рисунок не спасает
Аналитический ход нужен там, где график построить трудно, а также в задачах на единственное решение, где важно поймать симметрию или особую точку.
Работает он через разбор случаев. Коэффициент при старшей степени обращается в ноль или нет, дискриминант положительный, нулевой или отрицательный, знаменатель обращается в ноль при определенных значениях. Каждый случай рассматривается отдельно, и в каждом ответ свой.
Разбор случаев внешне выглядит скучнее, чем красивая картинка. При этом именно он спасает на экзамене, потому что не требует ровных чисел и не ломается, когда график получается непривычным.
Отдельно стоит функциональный ход, где решение опирается на свойства выражений: четность, монотонность, ограниченность. В задаче на единственное решение он часто сокращает работу до нескольких строк. Если левая часть уравнения четная, то вместе с любым корнем корнем будет и число, противоположное ему по знаку. Значит единственное решение возможно только в нуле, и достаточно подставить ноль, найти значения параметра и проверить каждое из них. Ход красивый и опасный: проверка обязательна, потому что подстановка дает необходимое условие, а не достаточное.
| Ход | Когда работает | Где ломается |
|---|---|---|
| Графический | Когда уравнение делится на две части, одна с переменной, другая с параметром, и график первой строится школьными средствами | Числа сняты с рисунка на глаз, изломы и вершины не вычислены |
| Аналитический, разбор случаев | Когда график громоздкий, а решение упирается в знак дискриминанта, обращение коэффициента в ноль или в ограничения знаменателя | Пропущен один из случаев, чаще всего нулевой коэффициент при старшей степени |
| Функциональный | Когда в выражении видна четность, монотонность или ограниченность, особенно в задачах на единственное решение | Найденные значения не проверены обратной подстановкой |
Ходы не соперничают между собой, в одной работе они часто идут вместе: рисунок подсказывает картину, разбор случаев доводит ее до обоснования.
Границы, на которых теряют баллы
Решение обрывается за шаг до полного балла чаще всего на границах промежутка. Задача просит ровно два корня, на границе эти два корня сливаются в один, и граничное значение в ответ уже не входит. Ловится это подстановкой самого граничного числа обратно в условие, а занимает такая проверка минуту.
Рядом стоит вопрос про область определения. Знаменатель, подкоренное выражение и логарифм задают свои ограничения, к параметру отношения не имеющие, и про них забывают ровно в тот момент, когда все внимание уходит на разбор случаев. Уравнение при этом может иметь два корня по формуле и один по факту, если корни совпали, поэтому формулировка «ровно два различных корня» в условии стоит не для красоты.
Найденные значения параметра стоит подставить обратно хотя бы выборочно. Пара минут работы, и примерно половина потерянных баллов возвращается на место.
Строка критериев, из которой видно, за что ставят 4 балла
Критерии по заданию 18 требуют обоснованного решения. Одного верного ответа для полного балла мало.
Практически это значит, что каждый переход нужно проговорить словами. Почему рассматриваются именно эти случаи. Почему на этой высоте прямая пересекает график три раза. Почему граничное значение не входит в ответ. Одна цепочка выкладок с правильным ответом полного балла не приносит, если из нее не видно логики отбора.
Частичные баллы за задание 18 предусмотрены, и точная разбалловка стоит в критериях демоверсии текущего года. Открывать их полезно один раз в начале подготовки, чтобы понимать, за что именно снимают.
Полезно понимать и общую арифметику работы. Заданий в профиле 19, и стоят они по-разному. Дороже всего два последних номера, 18 и 19, за каждый дают по 4 балла. Следом идут 14 и 17, там по 3. Номера 13, 15 и 16 оценены по 2 балла, а первая дюжина заданий приносит по 1 баллу за штуку. Все вместе тянет на 32 первичных балла. Порог Рособрнадзора по профилю 27 тестовых баллов, а для подачи документов в вузы Минобрнауки нужно 40 тестовых, это установлено приказом № 881 от 14 ноября 2025 года. Проходные баллы на технические направления заметно выше этого минимума, и разница между ними как раз и набирается второй частью.
С чего начинать, если параметров не было вообще
Начинать имеет смысл с разбора чужих решений. Самостоятельные попытки на этом этапе уходят в пустоту.
Порядок работает такой. Сначала разбираются десять решенных задач одного типа подряд, с проговариванием каждого перехода вслух. Потом те же десять решаются заново самостоятельно, с закрытым решением. Только после этого берутся новые задачи. Схема выглядит медленной, зато к третьему десятку постановки начинают узнаваться с первого взгляда, а именно узнавание и экономит время на экзамене.
Считать прогресс лучше не баллами, а задачами и неделями. Два месяца по три часа в неделю с разбором тридцати задач одного типа дают устойчивое узнавание. Цифра эта ориентировочная, по опыту преподавателей. Сколько это добавит в тестовых баллах, никто честно не скажет, потому что перевод зависит от всей работы целиком.
И честная оговорка. Если первая часть решается меньше чем наполовину, браться за 18 номер рано. Простые задания берутся за месяц, параметр за полгода.
Куда двигаться дальше
Откройте демоверсию профильного уровня и посмотрите на задание 18 вместе с критериями к нему. Разберите одно решение из сборника, проговаривая каждый переход вслух. Если проговорить получается, тема берется самостоятельно.
Когда решение читается, но не воспроизводится, приходите на бесплатную консультацию с методистом школы «Классикум». На встрече видно, где именно рвется ход мысли, в случаях или в оформлении, и оттуда собирают план по неделям. Занятия идут онлайн в малых группах, записаться можно на classicum.ru.
