Задача из первой части выглядит простой. Тело падает без начальной скорости, ускорение считать равным 10 метрам на секунду в квадрате. Какой путь оно пройдет за третью секунду падения? Выпускник записывает половину произведения ускорения на квадрат времени, подставляет три секунды и получает 45 метров. Ответ неверный. Сорок пять метров тело проходит за три секунды от начала движения, а вопрос был про одну секунду, третью по счету. За две секунды пройдено 20 метров, за три 45, разница дает 25 метров.
Если выписать пути за каждую из первых четырех секунд, получится 5, 15, 25 и 35 метров. Числа относятся как 1 : 3 : 5 : 7. Ряд нечетных чисел продолжается дальше, за пятую секунду тело пройдет 45 метров. На этом ряде держится почти вся тема.
Откуда берется ряд нечетных чисел
Галилей описал этот ряд в «Беседах», изданных в Лейдене в 1638 году. Бронзовый шар скатывался по желобу в наклонной доске длиной около двенадцати локтей, время Галилей отмерял по вытекающей воде. Ряд нечетных чисел у него дан как следствие теоремы о равноускоренном движении. Пизанскую башню сам Галилей не упоминал, эта сцена есть только у его ученика Вивиани.
Почему путь растет как квадрат времени, видно из простого сложения. Один плюс три равно четырем, один плюс три плюс пять равно девяти, первые четыре нечетных числа дают шестнадцать. Каждый раз получается квадрат номера, и поэтому если за первую секунду тело прошло 5 метров, то за две секунды оно пройдет 20, за три 45, за четыре 80. По секундам те же числа раскладываются на 5, 15, 25 и 35. Школьная формула дает путь от старта, а ряд делит этот путь на куски по секундам.
Ускорение одно для всех тел
Задолго до Галилея, еще в 1586 году, голландец Симон Стевин вместе с Яном де Гроотом ронял в Делфте два свинцовых шара разной массы, один тяжелее другого в десять раз, с высоты примерно десять метров, и слушатели внизу различали один удар, а не два. Самая известная проверка состоялась много позже, 2 августа 1971 года, когда командир «Аполлона-15» Дэвид Скотт стоял на Луне с молотком в одной руке и соколиным пером в другой: он разжал обе руки, перо и молоток легли в лунную пыль в один и тот же момент, потому что там нечему было тормозить перо.
На Земле воздух мешает заметно. Парашютист до раскрытия купола разгоняется примерно до 55 метров в секунду, около 200 километров в час, и дальше его скорость перестает расти. Без воздуха такую скорость он набрал бы меньше чем за шесть секунд. В задачах ЕГЭ, если не сказано иное, сопротивлением воздуха пренебрегают, и тогда любое тело движется с одним и тем же ускорением.
Само ускорение немного меняется от места к месту. На экваторе оно равно 9,78 метра на секунду в квадрате, на полюсах 9,83, в Москве около 9,815. В справочных данных варианта ЕГЭ стоит число 10, и все ответы рассчитаны на него. Ряд 1 : 3 : 5 : 7 при любом ускорении остается тем же, меняется только путь за первую секунду.
Формулы свободного падения, которые есть в кодификаторе
| Величина | Формула (ось Oy вверх) | Что подставлять | Есть в кодификаторе |
|---|---|---|---|
| Координата по вертикали | y = y0 + v0y·t − g·t²/2 | v0y = v0·sin α, при падении без скорости v0y = 0 | Да |
| Координата по горизонтали | x = x0 + v0x·t | v0x = v0·cos α, не меняется весь полет | Да |
| Проекция скорости по вертикали | vy = v0y − g·t | В верхней точке vy = 0 | Да |
| Скорость без времени | vy² − v0y² = −2·g·(y − y0) | Когда время не дано и не нужно | Да |
| Путь за n-ю секунду | sn = (2n − 1)·g/2 | При g = 10: 5, 15, 25, 35 м | Нет, выводить из формулы координаты в две строки |
| Дальность броска под углом | L = v0²·sin 2α / g | Только для прикидки в первой части | Нет, выводить из x(t) и y(t) |
| Максимальная высота | H = v0y² / (2g) | Из формулы скорости без времени при vy = 0 | Нет, выводить |
| Ускорение свободного падения | g = 10 м/с² | Из справочных данных варианта, если условие не задает другое | Справочные данные |
По проекту кодификатора ЕГЭ по физике 2027 года и методическим материалам ФИПИ для экспертов 2026 года.
Четыре случая броска через один ряд
Падение без начальной скорости уже разобрано, остается зафиксировать числа. Числа уже выписаны выше, от пятерки до тридцати пяти, а их сумма за четыре секунды равна восьмидесяти. Полезнее запомнить общий прием: какой бы номер секунды ни стоял в условии, его удваивают, вычитают единицу и полученное нечетное число умножают на 5. Седьмая секунда даст тринадцать пятерок, то есть 65 метров, девятая семнадцать, 85 метров.
Бросок вверх удобно разобрать на числах. Тело брошено со скоростью 30 метров в секунду, подъем длится три секунды. За первую секунду подъема пройдено 25 метров, за вторую 15, за третью 5, высота равна 45 метрам. Дальше тело падает, и ряд снова идет по возрастанию. Путь за третью и четвертую секунду от момента броска одинаков, по 5 метров, потому что эти секунды лежат по обе стороны от верхней точки.
Горизонтальный бросок на вид сложнее, а по сути повторяет первый случай. Горизонтальная составляющая скорости за весь полет не меняется, а вертикальное движение ничем не отличается от падения отпущенного камня. Возьмем обрыв высотой 80 метров и камень, брошенный с него горизонтально со скоростью 20 метров в секунду. Вниз он опускается по знакомому ряду, 5, потом 15, потом 25, потом 35, и на четвертой секунде касается земли, а вбок за эти четыре секунды успевает уйти на 80 метров, то есть ровно на столько же, на сколько упал.
Последний случай, бросок под углом, собирает два предыдущих в один. Скорость делят на вертикальную часть, которая живет по правилам броска вверх, и горизонтальную, которая просто переносит тело вбок с постоянной скоростью. Пусть вверх направлено 30 метров в секунду, а вбок 40. Вертикальные 30 кончаются через три секунды на высоте 45 метров, после чего тело еще три секунды опускается, и за эти шесть секунд боковые 40 метров в секунду успевают увести его на 240 метров от точки броска. На вершине траектории от скорости остаются только боковые 40, вверх в этот миг ничего не направлено, и это значение, 40, а не ноль, спрашивают в задачах про верхнюю точку.
График скорости и ряд нечетных чисел
Для тела, отпущенного без начальной скорости, график скорости от времени представляет собой прямую из начала координат. Площадь под графиком за первую секунду равна площади треугольника с катетами единица и десять, то есть пяти метрам. За вторую секунду под графиком лежит трапеция с основаниями 10 и 20, ее площадь 15. За третью секунду трапеция с основаниями 20 и 30 дает 25. Ряд виден на графике без формул.
Для броска вверх прямая начинается с 30 метров в секунду и пересекает ось времени через три секунды, после чего уходит в отрицательную область. Площадь с учетом знака дает перемещение, площадь по модулю дает путь. За шесть секунд полета перемещение равно нулю, путь равен 90 метрам. В первой части ЕГЭ именно это различие проверяют в заданиях на чтение графиков.
Башня в Бремене как проверка ряда
В Бремене стоит башня высотой 146 метров с вакуумной шахтой внутри. Капсула падает в ней 110 метров за 4,74 секунды. При ускорении 10 расчет дает 4,69 секунды, разница в пять сотых появляется из-за того, что ускорение в Бремене меньше десяти. Ряд проверяется прямо по высоте, потому что за первые четыре секунды капсула проходит около 80 метров, оставшиеся тридцать приходятся на последние три четверти секунды. Катапульта снизу выстреливает капсулу вверх, и тогда невесомость длится 9,3 секунды, как при броске вверх.
Свободное падение на экзамене
По проекту ЕГЭ 2027 года вариант содержит 26 заданий, на работу отводится 235 минут, максимум составляет 45 первичных баллов. Свободное падение встречается в первой части в заданиях на графики и во второй части. Задание 22 стоит два балла, задание 26 четыре балла, и в нем требуется обоснование модели. Выпускник записывает, что тело считается материальной точкой в инерциальной системе отсчета и что сопротивлением воздуха пренебрегают, за это дают отдельный балл.
Про ряд нечетных чисел на экзамене надо знать одну вещь. В кодификаторе его нет, как нет формулы дальности полета и формулы максимальной высоты. По методическим рекомендациям ФИПИ 2026 года исходными считаются только формулы из кодификатора. Если использована формула не из него, эксперт считает, что одна из исходных формул отсутствует. В задании 22 частичного балла на такой случай нет, итог ноль. Поэтому во второй части ряд выводят в две строки. Записывают путь за три секунды через половину произведения ускорения на квадрат времени, записывают путь за две секунды и вычитают одно из другого.
Еще одна вещь, на которой эксперт снимает баллы, это знак. Ось выбирают один раз и записывают выбор в решении. Если ось направлена вверх, ускорение входит в формулы со знаком минус, если вниз, со знаком плюс. Ошибка знака при несогласованной оси искажает исходную формулу, и эксперт рассматривает ее как отсутствие формулы.
Тренажер по ряду нечетных чисел
Шесть задач в формате первой части. Ответ одно число, единицы указаны в условии. После проверки откроется разбор.
Тело отпустили без начальной скорости, ускорение 10 м/с². Какой путь оно пройдет за пятую секунду падения? Ответ в метрах.
Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 40 м/с. Сколько метров он пройдет за четвертую секунду полета? Ускорение 10 м/с².
Камень бросили горизонтально с обрыва высотой 45 м со скоростью 15 м/с. На каком расстоянии от подножия обрыва он упадет? Ускорение 10 м/с².
Тело брошено под углом так, что вертикальная проекция скорости равна 20 м/с, горизонтальная 15 м/с. Чему равна скорость тела в верхней точке? Ответ в м/с.
По графику скорости тела, отпущенного без начальной скорости, площадь под прямой за третью секунду равна площади трапеции с основаниями 20 и 30 м/с. Чему равен путь за эту секунду? Ответ в метрах.
Мяч бросили вверх со скоростью 20 м/с и поймали на той же высоте. Чему равен путь мяча за весь полет? Ускорение 10 м/с². Ответ в метрах.
Что делать до декабрьского пробника
На первый шаг хватит одного вечера: возьмите лист и выпишите пути по секундам для падения без скорости при ускорении 10, затем для броска вверх со скоростями 20, 30, 40 и 50 метров в секунду. Проверьте, что ряд 1 : 3 : 5 : 7 читается в каждом столбце и при броске вверх идет в обратном порядке до верхней точки.
Дальше графики. Откройте открытый банк заданий ФИПИ, отберите задачи первой части с графиком скорости и для каждой посчитайте площадь по полоскам шириной в одну секунду. Когда полоски 5, 15, 25 и 35 начнут складываться в уме, задания этого типа перестанут отнимать время.
Третий шаг нужен тем, кто претендует на баллы второй части, и он длиннее первых двух: решите пять задач уровня задания 22 так, как их проверяет эксперт, с выбором оси, с записью формул из кодификатора и с выводом ряда в две строки. После пяти задач запись становится автоматической.
Дальше все зависит от того, где вы сейчас. Если графики даются, а вторая часть проваливается из-за оформления, занимайтесь только третьим шагом. Если путь за третью секунду до сих пор кажется равным 45 метрам, начните с первого шага и не торопитесь. Если у вас есть младший брат в восьмом или девятом классе, объясните ряд 1 : 3 : 5 ему вслух на листе бумаги. Пути 5, 15 и 25 метров он поймет за десять минут, а вам придется проговорить каждый переход, и на этом месте обычно обнаруживается, что было понято нетвердо.
Куда двигаться дальше
Формулы координаты и скорости, знаки проекций и выбор оси разобраны в статье о равноускоренном движении, свободное падение его частный случай.
Когда в задаче 26 к падению добавляются удар и обоснование модели, нужен закон сохранения механической энергии и понимание, когда его применять нельзя.
Где выпускники теряют больше всего баллов и в каком порядке закрывать разделы, собрано в разборе самых сложных тем физики на ЕГЭ. Разобрать свой расклад можно на бесплатной консультации с методистом, курс по физике идет онлайн в малых группах.
Частые вопросы про свободное падение на ЕГЭ по физике
Можно ли в первой части ЕГЭ сразу пользоваться рядом 1 : 3 : 5?
Да, в первой части проверяется только число в бланке, и способ его получения никто не оценивает. Во второй части тот же результат надо получить вычитанием двух путей, записанных через формулу из кодификатора, иначе эксперт посчитает, что исходной формулы в решении нет.
Почему в задачах ЕГЭ ускорение свободного падения берут равным 10?
Так записано в справочных данных варианта, и составители рассчитывают все числовые ответы на это значение. Реальное ускорение в Москве около 9,815, и если подставить его, ответ в задании на пути по секундам разойдется с ключом. При ускорении 10 все расчеты тестовой части делаются в уме.
Что происходит со скоростью в верхней точке при броске под углом?
Обращается в ноль только вертикальная проекция. Горизонтальная сохраняется весь полет, поэтому в верхней точке тело движется горизонтально со скоростью, равной горизонтальной проекции начальной. Кинетическая энергия там минимальна, но нулю не равна.
Чем путь отличается от перемещения при броске вверх?
Путь складывает все пройденные метры, перемещение учитывает направление. При броске вверх со скоростью 30 метров в секунду за шесть секунд тело поднимается на 45 метров и опускается на столько же, путь равен 90 метрам, перемещение нулю. На графике скорости путь считают по модулю площади, перемещение с учетом знака площадей над осью и под ней.
Сколько баллов теряется в задании 26 без обоснования модели?
Теряется один балл из четырех. Нужно указать, что тело рассматривается как материальная точка в инерциальной системе отсчета, и отдельно отметить, что сопротивлением воздуха пренебрегают. Такая запись занимает одну строку и оценивается отдельным баллом.
.jpg){kind=link}
-02.jpg){kind=link}