Линзы и формула линзы на ЕГЭ по физике, как не потерять баллы

Двадцать третьего февраля 1306 года доминиканский монах Джордано да Пиза, читая проповедь, упомянул новинку: «Еще нет и двадцати лет, как найдено искусство делать очки, с которыми хорошо видно». Имени изобретателя он не назвал, и его так и не нашли. Первые очки были из выпуклых стекол и помогали тем, кто с возрастом перестал различать буквы вблизи.

Выпускнику линза кажется самой простой темой оптики, потому что формула в ней одна и короткая, три дроби. Ловушки в задачах спрятаны не в самой формуле, а в знаках, на сантиметрах вместо метров в оптической силе и на построении, где луч идет под углом к оси. Линзы стоит закрыть до декабрьского пробника: задание по оптике в первой части стоит всего один балл, и отдавать его из-за минуса обидно.

Удобнее всего пройти тему по истории стекла, от очков монахов до таблицы у кабинета окулиста. Почти каждое понятие из кодификатора появилось у кого-то как ответ на конкретную задачу.

Выпуклое стекло для чтения

Выпуклое очковое стекло по школьной классификации называется собирающей линзой. Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после нее сходятся в одной точке, главном фокусе, а расстояние от линзы до фокуса называют фокусным расстоянием и обозначают буквой F. У любой тонкой линзы два фокуса, по обе стороны на одинаковом расстоянии от центра.

Человек, который читал в таких очках, держал текст ближе фокусного расстояния. В этом положении собирающая линза дает изображение мнимое, прямое и увеличенное, и находится оно с той же стороны, что и предмет. Так работает обычная лупа для мелкого шрифта. Если отодвинуть предмет дальше фокуса, картина меняется: изображение становится действительным и перевернутым, его можно поймать на экране.

Для задания 13 полезно держать в голове пять положений предмета. Дальше двойного фокуса изображение действительное, перевернутое и уменьшенное. Ровно в двойном фокусе оно такого же размера, как предмет, и тоже перевернуто. Между фокусом и двойным фокусом изображение действительное, перевернутое и увеличенное, оно уходит за двойной фокус по другую сторону линзы. Предмет в самом фокусе изображения не дает: лучи выходят параллельно. Ближе фокуса получается та самая мнимая картинка лупы.

Вогнутые стекла пятнадцатого века

Очки для близоруких, с вогнутыми стеклами, появились только в середине пятнадцатого века, примерно через полтора столетия после проповеди Джордано. Вогнутая линза в учебнике называется рассеивающей. Параллельный пучок после нее расходится, и сходятся в одной точке уже продолжения лучей, проведенные назад. Такой фокус в учебниках называют мнимым фокусом линзы.

С рассеивающей линзой задачи проще, чем кажется. Где бы ни стоял предмет, изображение получается мнимым, прямым и уменьшенным, и лежит оно между линзой и фокусом с той же стороны, что и предмет. В формуле у рассеивающей линзы фокусное расстояние берут со знаком минус, и оптическая сила у нее тоже отрицательная. Этот минус легко потерять: про него помнят при построении и забывают при подстановке чисел.

Сетчатка Кеплера

В 1604 году Иоганн Кеплер выпустил трактат по оптике, где одним из первых объяснил, что изображение на сетчатке глаза получается перевернутым. Там же он дал верное объяснение тому, как выпуклые и вогнутые очки исправляют дальнозоркость и близорукость. В кодификаторе этот сюжет записан отдельным элементом 3.6.9: фотоаппарат как оптический прибор и глаз как оптическая система.

Хрусталик вместе с роговицей работает как собирающая линза, а сетчатка как экран. Предметы вокруг нас находятся далеко, дальше двойного фокуса этой системы, поэтому на сетчатке получается изображение действительное, уменьшенное и перевернутое, а мозг привычно переворачивает картинку обратно. У фотоаппарата роль сетчатки играет матрица или пленка, и изображение на ней тоже действительное и перевернутое.

Через семь лет, в 1611 году, Кеплер выпустил «Диоптрику». В ней он разобрал двояковыпуклые собирающие и двояковогнутые рассеивающие линзы, объяснил, как из их сочетания получается зрительная труба Галилея, и предложил свою, из двух выпуклых линз, с большим увеличением.

Три луча для построения

Построение изображения, ради которого в задании рисуют клетчатую сетку, держится на трех лучах. Луч через оптический центр тонкой линзы не преломляется. Луч, параллельный главной оптической оси, после собирающей линзы проходит через задний фокус. Луч, прошедший через передний фокус, выходит параллельно оси. Для точки достаточно любых двух из трех, изображение получается там, где они пересекутся.

У рассеивающей линзы правила те же, только вместо самих лучей пересекаются их продолжения. Параллельный оси луч уходит так, будто вышел из переднего мнимого фокуса, и продолжение его назад проводят пунктиром.

Сложнее случай, который кодификатор отдельно называет в элементе 3.6.8: луч идет под произвольным углом к главной оптической оси и не проходит ни через фокус, ни через центр. Здесь через оптический центр проводят побочную оптическую ось, параллельную этому лучу, и отмечают точку, где она пересекает фокальную плоскость, перпендикулярную главной оси и проходящую через фокус. У собирающей линзы через эту точку в задней фокальной плоскости пройдет сам преломленный луч. У рассеивающей фокальную плоскость берут со стороны падающего света, и через найденную точку проходит продолжение преломленного луча назад. Без побочной оси такое построение не сделать.

Задача Галлея о фокусах

В 1693 году Эдмунд Галлей, тот самый, чьим именем назовут комету, напечатал в «Философских трудах» Лондонского королевского общества статью с длинным названием, которое начиналось словами «Пример превосходства современной алгебры в решении задачи о нахождении фокусов оптических стекол». Галлей вывел общий способ находить фокус линзы любой формы, из стекла, воды или алмаза, с учетом ее толщины, и показал, как из той же формулы найти расстояние до предмета или нужную кривизну.

Школьная формула тонкой линзы из всего этого оставляет одну строку. Кодификатор записывает ее так: единица, деленная на d, плюс единица, деленная на f, равна единице, деленной на F. Здесь d расстояние от линзы до предмета, f расстояние от линзы до изображения, F фокусное расстояние. Увеличение линзы равно отношению размера изображения к размеру предмета и отношению модуля f к d.

Пусть свеча стоит в 30 сантиметрах от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 сантиметров. Тогда единица, деленная на f, равна одной двадцатой минус одна тридцатая, то есть одной шестидесятой, и изображение получается в 60 сантиметрах за линзой, увеличенное вдвое. Если поставить ту же свечу в 10 сантиметрах от линзы, расчет даст минус двадцать сантиметров. Минус здесь не ошибка: он означает, что изображение мнимое и лежит с той же стороны, что и свеча, а увеличение снова равно двум.

Рассеивающая линза с фокусным расстоянием 20 сантиметров дает от той же свечи, стоящей в 20 сантиметрах, мнимое изображение в 10 сантиметрах от линзы. Фокусное расстояние в формулу подставляют со знаком минус: минус одна двадцатая минус одна двадцатая дает минус одну десятую. Увеличение получается вдвое меньше единицы, ровно как и обещает правило про рассеивающие линзы.

Ступенчатое стекло маяка Кордуан

Двадцать пятого июля 1823 года на маяке Кордуан в устье Жиронды зажгли первую в мире маячную линзу Огюстена Френеля. Обычная собирающая линза с коротким фокусом и большим диаметром вышла бы толстой и тяжелой. Френель разбил ее на кольцевые ступени, каждая из которых преломляла свет так же, как участок толстого стекла, и свет было видно до горизонта, дальше чем за 32 километра.

Для экзамена из этой истории следует одна мысль, которую легко упустить. У тонкой линзы фокусное расстояние задают кривизна поверхностей и материал, а толщиной в школьных задачах пренебрегают. Если в задании линзу из стекла сравнивают с такой же линзой, погруженной в воду, преломление на границе ослабевает и фокусное расстояние растет.

Таблица Монойе

В 1872 году французский офтальмолог Фердинанд Монойе, работавший тогда в Нанси, предложил единицу оптической силы, диоптрию. Он же придумал таблицу для проверки остроты зрения, где спрятал собственное имя: если читать буквы снизу вверх по краям таблицы, складывается его фамилия.

Оптическая сила линзы равна единице, деленной на фокусное расстояние, и в диоптриях фокусное расстояние берется только в метрах. Очки с пометкой «плюс два» имеют фокусное расстояние полметра, а линза из задачи с фокусом 20 сантиметров дает пять диоптрий, а не одну двадцатую. У рассеивающей линзы оптическая сила отрицательная. Если две тонкие линзы сложить вплотную, их оптические силы складываются.

Здесь у темы самое неудобное место. В разных задачниках формулу линзы пишут по-разному: одни подставляют знаки прямо в величины и держат в формуле одни плюсы, другие ставят плюс или минус перед каждой дробью, а величины оставляют положительными. Хорошего ответа, какая запись правильнее, нет, обе дают верный результат, если не смешивать их в одной задаче, и это немного раздражает, когда ученик переходит от одного пособия к другому. Надежнее выбрать одну запись на весь год и в каждой задаче сначала решить, какие величины отрицательные.

Что спрашивают про линзы на ЕГЭ

По проекту демоверсии 2027 года в ЕГЭ по физике 26 заданий, максимум 45 первичных баллов и 3 часа 55 минут на работу. Оптика по плану варианта стоит в задании 13 базового уровня, оно оценивается одним баллом и проверяет элементы кодификатора 3.6.2 и 3.6.3 об отражении и плоском зеркале, а также 3.6.7, формулу тонкой линзы. В самой демоверсии 2027 года задание 13 досталось зеркалу: угол между падающим и отраженным лучами 70 градусов, зеркало поворачивают на 10 градусов, ответ 50. Линза в тот же номер может попасть в любом другом варианте.

Оптика в плане относится к электродинамике, а задания 14, 15, 21 и 25 помечены общим кодом этого раздела, так что линза может встретиться и там, в том числе в качественной задаче второй части. В спецификации 2027 года сказано, что структура работы не меняется, а в тематику заданий 21 и 23 внесены коррективы.

Развилок, где задача на линзу ломается, немного, и все они уже встречались выше. Сюда относятся плюс у рассеивающей линзы вместо минуса, сантиметры в формуле оптической силы и путаница между f и F, расстоянием до изображения и фокусным расстоянием. Остаются мнимое изображение, записанное в ответ как действительное, потому что минус при f потерялся по дороге, и увеличение, посчитанное как d к f вместо f к d.

Как повторять линзы

Начать стоит с листа, где для собирающей линзы нарисованы пять положений предмета и для каждого подписано, какое получается изображение. Рядом одна строка про рассеивающую линзу: мнимое, прямое, уменьшенное при любом положении. Затем три задачи на формулу из этой статьи, со свечой в 30, 10 и 20 сантиметрах, и проверка ответа построением на клетчатой бумаге. К декабрьскому пробнику полезно прорешать задания по оптике из открытого банка ФИПИ и отдельно выписать те, где ошибка была в знаке.

Выпускнику 2027 года этого хватит на задание 13 и на качественный вопрос во второй части, если линза попадется там. Десятиклассник может начать с построений: формула тонкой линзы запоминается быстрее, когда изображение уже нарисовано руками. А если вопрос задает сестра, у которой младший сын носит очки с пометкой «минус полтора», на этих очках видна вся тема: линзы в них рассеивающие, оптическая сила отрицательная, а фокусное расстояние около 67 сантиметров.

Частые вопросы про линзы на ЕГЭ по физике